Jeg har i disse dagene lagt frem noen av oppgavene jeg skrev under pedagogikkstudiet ved universitetet i Bergen. Dette er en oppgave jeg skrev om bruken av matematikkens historie i undervisningen.
Oppgave i matematikkens historie
Innledning…………………………………………………. …………………………………………….. 2
Litt om oppgaveplan……………………………………………………………………………………….. 2
Er forståelse i det hele tatt nødvendig…………………………………………………………….. 4
Hvorfor elevene skal forstå matematikk……………………………………………………………… 5
Hva er matematikk…………………………………………………………………………………………. 7
Matematikkens historie…………………………………………………………………………………… 8
Formidlingen……………………………………………………………………………………………. 8
Læreverket Mega…………………………………………………………………………………………… 9
Undervisning i Matematikkens historie………………………………………………………………. 10
Tallsystem og Det Gylne Snitt………………………………………………………………………….. 11
Tallsystemer………………………………………………………………………………………………… 12
8-Klasse……………………………………………………………………………………………………….. 12
9-Klasse……………………………………………………………………………………………………….. 15
10-Klasse……………………………………………………………………………………………………… 15
Videre til Gymnaset………………………………………………………………………………………… 17
Det Gylne Snitt……………………………………………………………………………………………. 18
8-Klasse……………………………………………………………………………………………………….. 18
9-Klasse……………………………………………………………………………………………………….. 18
10-Klasse……………………………………………………………………………………………………… 20
Videre til Gymnaset……………………………………………………………………………………….. 21
Konklusjoner Tallsystem og Det Gylne Snitt……………………………………………………… 22
Tverrfaglig………………………………………………………………………………………………….. 23
Konklusjon………………………………………………………………………………………………. 25
Litteraturliste………………………………………………………………………………………………….. 25
Innledning
Opplæringen i faget har som mål at elevene utvikler innsikt i matematikkens historie og fagets rolle i kultur og vitenskap.[1]
Setningen er hentet fra den nye læreplanen for grunnskolen, og er et av seks hovedmål for matematikkfaget uavhengig av klassetrinn. Når matematikkens historie får en så sentral plass i læreplanen, betyr det at emnet også må få en sentral plass i undervisningen. Det igjen bør bety at matematikkens historie innehar egenskaper som gjør at den fortjener denne posisjonen i læreplan og undervisning. Jeg vil i denne oppgaven ha frem disse egenskapene, både som forsvar for å ha matematikkens historie på læreplanen, men også som en slags mal for hvordan historien skal formidles. For meg henger disse tingene sammen. Gjennom bevissthet om hvilke positive verdier matematikkens historie har å tilføre skolematematikken, vil læreren være mer motivert for å sette seg inn i stoffet. Vel så viktig er det at læreren vil være motivert og fokusert på å formidle emnet på en måte som får frem disse positive verdiene. Her kommer formidlingsspørsmålet inn. Forsvaret for å ha matematikkens historie på læreplanen, vil forfalle hvis ikke undervisningen makter å få frem det essensielle ved emnet. Slik ser jeg forsvar og formidling i sammenheng, og derfor vil jeg bruke en vesentlig del av oppgaven på hvordan matematikkens historie skal formidles.
Argumentasjon for matematikkens historie og presentasjonen av formidling er egentlig to forskjellige måter å skrive på, den ene naturlig drøftende og den andre naturlig fortellende. For å koble dette sammen stilles krav til oppgaveplan.
Litt om oppgaveplan
Det første jeg vil gjøre er å trekke opp noen avgrensninger. Selv om matematikkens historie også er inne i videregående, med krav i læreplanen om at elevene skal kjenne til historien bak et emne som blir tatt opp i undervisningen, vil jeg i denne oppgaven legge mest vekt på ungdomsskolen. Årsaken ligger i formidlingsdelen, der jeg ser det hensiktsmessig å ikke ha for mange klassetrinn å presentere undervisning for. Ungdomsskolen blir da et naturlig valg siden det er der jeg har hatt praksis. Når det er sagt, om ungdomsskolen står i hovedfokus vil prinsippene for undervisningen og argumentasjonen for matematikkens historie være gjeldende også i den videregående skolen. Jeg vil derfor tid sveipe innom den videregående skolen også.
Med denne avgrensingen gjort trengs bare noen knagger å strukturere oppgaven på før jeg kan gi meg i kast med argumentasjonen. Som utgangspunkt velger jeg følgende påstand: «Undervisning i Matematikkens historie vil fremme matematikkforståelsen til elevene.» Et overveiende mål med oppgaven blir da å klargjøre i hvilken grad dette er tilfelle. På veien mot dette målet vil jeg komme inn på nye og gamle pedagogiske spørsmål, jeg vil være fokusert på matematikkhistoriens motiverende muligheter og jeg vil streife innom mulighetene emnet gir for å oppfylle de tverrfaglige målene de nye læreplanene setter.[2] Rundt påstanden ligger spørsmål som hvilken matematikk elevene skal lære, er det fasiten som er målet ved matematikken? Selve strukturen legger jeg opp slik at jeg til å begynne med gir en grundigere forklaring på hva jeg mener med at matematikkens historie fremmer den matematiske forståelsen. Denne forklaringen vil vektlegge av to moment. Forklaringen vil vektlegge forståelse av matematikken i seg selv, det matematiske system om en kan si det slik. Forklaringen vil også vektlegge forståelse av matematikken som en nødvendig del av samfunnet. Jeg vil se på hvordan matematikkens historie kan oppfylle disse forståelseskriteriene, og dernest på hvordan denne kunnskapen kan formidles til elevene. Dette siste er det mest utfordrende punkt, og det vil følgelig kreve mest rom. Jeg vil forsøke å finne et konkret undervisningsopplegg for ungdomsskolen, tilpasset min oppfatning av matematisk forståelse, og med aktiv bruk av matematikkens historie.
Før dette kan gjøres, er det en liten detalj det må skapes klarhet i. Spørsmålet hvilken posisjon matematisk forståelse bør ha i undervisningen? Dette spørsmålet er relevant for at ved at min hovedpåstand legitimerer undervisning i matematikkens historie ut fra at det fremmer forståelse. Da må det argumenteres for at forståelse er en fordel. Spørsmålet er også pedagogisk interessant, da det berører sentrale deler ved undervisningen nemlig hva undervisningen bør søke å formidle.
Er forståelse i det hele tatt nødvendig
At forståelse er fordelaktig virker nok ved første øyekast å si seg selv. Går man dypere inn i materien, ser man imidlertid at praksis ikke alltid samsvarer med en slik erkjennelse. Det er kanskje nok å vise til tradisjonelle eksamensoppgaver, der det er mulig å bestå til beste karakter uten å forstå matematikken som sådan, sålenge man kjenner fagets algoritmer. Det kan også pekes på fagets lærebøker som inntil ganske nylig hadde klar overvekt av mekaniske regneoppgaver, det kan pekes på undervisningen slik den nokså sikkert praktiseres over store deler av Norge den dag i dag, en undervisning der læreren er fornøyd når eleven har svaret, det kan pekes på hva elevene selv mener matematikk er for noe, og det kan pekes på mer. Kort sagt, det finnes nok av pekepinner på at skolematematikkens fokus er å lære elevene å løse oppgaver fremfor å lære dem å forstå matematikk. Disse påstandene virker kanskje noe krasse og urettferdige overfor dem som forsøker å motkjempe slik drillematematikk. Utviklingen er på glid, forståelse er på vei til å overta som hovedmål fremfor mekanisk oppgaveløsning. Det viser seg i nye læreplaner, nye lærebøker og ikke minst i den holdning dagens lærerstudenter møter i utdannelsen sin. Men hvordan ser elevene på det?
Man skal ikke lenger tilbake enn til Hul i kulturen som kom ut i 1994. , der Lena Lindenskov gjør greie for en undersøkelse hun selv har gjennomført, om elevers oppfatning av matematikk. Svarene hun fikk sammenfattet hun i tre kategorier:
1. «Matematikk er at regne stykker som andre har formulert,»
2. «Matematikk er en samling regler satt av andre»
3. «Matematikk er instrument for menneskelige intentioner»[3]
At flere elever havnet på en av de to førstnevnte kategoriene, vitner om at det er tid frem før elevene oppnår den matematmatikkoppfatningen som lærerene om dagen utdannes til å ha som mål å formidle.
Det er ikke nok å bare slå fast at forståelse er det beste, det eksisterer også andre syn. Hvilken posisjon forståelse skal ha i undervisningen er ikke selvsagt.
Hvorfor elevene skal forstå matematikk
En enkel løsning for å få støtte til at matematikkundervisningen bør strebe etter at elevene skal forstå matematikk, er å vise til læreplanen. Der planen gjør rede for plassen faget skal i skolen, er forståelse for matematikkens helhetlighet det absolutt sentrale. Målet er skape interesse og innsikt, til nytte for faget selv og i livet ellers. Men i en oppgave der jeg skal forsvare matematikkhistoriens plass i læreplanen, blir det litt lettvint å søke støtte i andre deler av læreplanen. Jeg må komme opp med egen argumentasjon for at matematisk forståelse er viktig, og det velger jeg å gjøre gjennom matematikkens rolle i samfunnet, og et forbundet med motivasjon.
Det er lett å være kritisk til tidligere tiders matematikkundervisning, med endeløse rekker av simple addisjoner, subtraksjoner, multiplikasjoner og divisjoner og tilnærmet endeløs terping på disse. Man må huske på at de teknologiske hjelpemidler som benyttes i dag, ikke er eldre enn ti til tjue år. De nye ressursene setter nye problemer på dagsordenen. Enhver lommeregner kan på et øyeblikk regne ut enhver regneoperasjon som kan tenkes å forekomme i dagliglivet. Større regneoperasjoner finnes det kraftige datamaskiner til å ta seg av. Mitt poeng er at mekanisk regning nå overtas av maskinene, med naturlig konsekvens i at mennesket får flere av sine ressurser frigjort til forståelse. Det trenger ikke lenger brukes tid på utregningen. Et poeng i samme gate ligger i det Lindenskov skriver om den teknologiske utviklingen: «(…) det bliver viktigere at kunne formulere matematiske spørgsmål i stedet for å svare på andres spørgsmål»[4] Poenget er at å formulere egne spørsmål krever mer forståelse, enn å svare på andres. Det er lettere å løse en algoritme, enn å lage en. Lindenskov trekker den konklusjon at skolen bør søke å få elever med fagoppfattelse i gruppe 1 og 2 til å endre sitt syn i samsvar med gruppe 3. Hun har samfunnsutviklingen samt elevens nåtidige og fremtidige plass i dette samfunnet, som begrunnelse for sitt syn.
Til argumentet om matematisk forståelse som motivasjonsfaktor, vil jeg ta for meg det velkjente motiveringsmiddelet mestring. Det elevene mestrer, synes de er kjekt, og når et fag er kjekt blir det motiverende å jobbe med faget også. Her ligger farer for sirkelslutninger. Slik jeg har problematisert tidligere i oppgaven, kan det være mulig å mestre skolematematikken uten å forstå faget. Elevenes følelse av mestring er sterkt styrt av resultatene. En elev skal ha stor tro på seg selv for å kunne motiveres på grunn av mestring på tross av dårlige karakterer. Når prøver og eksamener dessverre ikke alltid gjenspeiler den matematiske forståelsen, blir det kanskje mer motiverende for eleven å pugge huskeregler enn å forsøke å forstå faget.
Den økte matematikkforståelsen bør ut fra en slik slutningsrekke gi seg utslag i bedre resultat skal forståelsen ha verdi som motivasjonsfaktor. Men dette er ikke den eneste mulige slutningsrekke.
Mestring som motivasjonsmiddel slik jeg satte det opp i avsnittet ovenfor, hadde et ledd mellom mestringen og motivasjonen. Det elevene mestrer, synes de er kjekt. Undersøkelse har vist nært samsvar mellom hvilke fag elevene liker, og hvilke de jobber mest med. Kan matematisk forståelse lede til større trivsel for faget? Kan forståelsen gjøre det lettere å jobbe med faget, fordi det ikke lenger bare er karakteren som frister, men at det faktisk er kjekt i seg selv å finne ut av sammenhengene? Forskningen viser at «elever som finner det de skal lære meningsfylt og viktig for dem personlig, lærer raskere.»[5] Så gjelder det om matematisk forståelse kan lede til denne følelsen av meningsfullhet.
Spørsmålene og undersøkelsene fra forrige avsnitt sirkler meg tilbake til matematikkens historie. Både den teoretiske og anvendte delen av matematikkfaget. Anvendt fordi det viser hvilken betydning matematikken har hatt opp gjennom historien, at matematiske fremskritt ofte er forløperen til samfunnsmessige fremskritt. Teoretisk fordi matematikkens historie er overlegen all annen undervisningsform i det å få frem at all matematikk en gang har vært ikke-eksisterende. Overgangen fra ikke-eksistens til eksistens er fascinerende, og denne fascinasjonen bør elevene få lov til å føle på kroppen. Hvordan denne forståelsen skal fremmes i praksis, vil stå sentralt i formidlingsdelen av oppgaven.
Med støtte i både læreplan og i egen argumentasjon bør det være klart at matematisk forståelse er noe å strebe etter. Dermed er det vist at det vil være et gode om matematikkens historie fremmer matematisk forståelse. Emnet fortjener derfor sin plass i lærplanen, hvis påstanden min om at undervisning i matematikkens historie fremmer matematisk forståelse medfører riktighet. Da gjenstår å undersøke selve påstanden, som inneholder to ledd det er mulig å diskutere: Kan matematikkens historie fremme matematisk forståelse? Er det mulig å formidle denne forståelsen i undervisningen? Ved å besvare det første spørsmålet først, vil jeg ha fine retningslinjer å se etter i arbeidet med undervisningsopplegg. For å besvare spørsmålet om matematikkens historie kan fremme matematisk forståelse, må det skaffes klarhet i hva matematisk forståelse er.
Hva er matematikk?
Dette spørsmålet er doktorgrad i seg selv, og her vil ikke komme mer enn små stikkord å tufte diskusjonen på. Det kan sies slik at jeg her vil skissere en oppfatning av matematikkfagets vesen elevene kan ha nytte av, snarere enn hva dette vesen egentlig er.
Matematikk bør forstås som et menneskeskapt system, der absolutt alle fakta bygger på hverandre ned til et ganske lite system av forhåndsdefinisjoner. Dette systemet er i stadig utvikling, nye teorier kommer til, teorier blir revidert, noen teorier blir endog forkastet. Tenk om eleven kunne forstått fullt ut, at selv det enkleste matematiske spørsmål vedkommende uproblematisk klarer å løse, en gang har vært komplett umulig selv for klodens klokeste mann. 5+1? Den dag i dag uforståelig for enkelte indianerstammer i Sør-Amerika, som ikke har tallsystem som rekker lenger enn til tallet 4.[6] Elevene bør også forstå at matematikken ikke er skapt for moro, men at det er oppstått av tvingende nødvendighet for samfunnsutviklingen, på linje med skriften. Man kan ikke selge jordstykker hvis man ikke kan regne areal, man kan ikke selge noe som helst hvis man ikke kan pluss og minus, man kan ikke lage kart og arbeidstegninger uten kjennskap til målestokk og forholdstall. Dette var prinsipper bak den aller, aller første matematikk. De samme prinsippene gjør i dag at man ikke kan lage datamaskiner uten avansert kombinatorikk, ikke gi værmelding uten differensialligninger og ikke forutse finansmarkedet uten kaosteori. Selv om matematikken er blitt mer avansert, er det altså de samme prinsippene som driver det videre, prinsippet om at det et eller annet sted i samfunnet finnes et eller annet system eller en eller annen gjenstand, som kunne fungert litegrann bedre hvis man bare kunne forutse i litt større grad hvordan det vil virke. Å være sikker er bedre enn å prøve seg frem. Disse to tingene regner jeg å stå sentralt i matematisk forståelse, at faget konstant og alltid er i utvikling, og at utviklingen til sist er motivert av at det på en eller annen måte vil komme til samfunnsnytte.[7]
Matematikkens historie
Mot en slik bakgrunn blir matematikkens historie innlysende egnet til å øke matematikkforståelsen. Det burde heller ikke overraske noen, men det er ikke vist at undervisning i matematikkens historie øker matematikkforståelsen. Ungdomsskoleeleven som sliter med sin algebra, vil kanskje snarere bli forvirret enn oppnå forståelse når matematikkens historie trekkes inn i tillegg til de emnene som allerede er. Dernest kommer spørsmålet om elvene er i stand til å se matematikkens historie i sammenheng med resten av matematikkfaget. Vil de skjønne hvilken seier det var for bondesamfunnet når deres matematikere og presteskap klarte å regne ut når årstiden ville skifte? Vil de når de får høre om Newton og hans funksjoner, skjønne at alle matematiske formler, teorier og algoritmer er menneskeskapte? All matematikk er konstruert av et menneske som skulle løse et problem uløselig med den kunnskapen som allerede eksisterte. Det ble nødvendig å finne opp noe nytt. Om elevene kan skjønne dette, vil de ikke bare oppnå matematisk forståelse, men kanskje også inspirasjon til å se etter nye løsninger når de selv sitter fast. Hvorvidt dette er mulig, ligger i hvordan matematikkens historie formidles.
Formidlingen
Nå som det er argumentert for at matematikkens historie fremmer matematisk forståelse, og at matematisk forståelse er et gode for eleven på skolebenken og i samfunnet, nå kan det fokuseres på hvordan historien og forståelsen skal formidles. Før nøstingen begynner er det mange spørsmålstråder som ligger der. Skal undervisningen være knyttet til det enkelte matematiske emne, eller skal Matematikkens Historie være et eget kapittel undervist i for seg, med egne prøver og alt som hører med? Er det småhistorier og anekdoter som skal frem som forfriskning, eller er det ytterligere teori med alternative måter å løse oppgaver på som skal i fokus? Kanskje er det ingen av delene, kanskje er det begge deler, kanskje er det begge deler kombinert med andre undervisningsaspekt det er vanskelig å formulere med ord, men som omhandler dette med innsikt og forståelse? Hva slags undervisning og hvordan er sentrale formidlingsspørsmål. Jeg har allerede nevnt hvilke mål formidlingen bør ha, mål som primært går på matematisk forståelse sekundært på tverrfaglighet og motivasjon. Det gjelder å tilpasse undervisningsformen slik at disse målene kan nås. Før jeg tar til å skissere mitt eget undervisningsopplegg, kan det være på sin plass å se hvordan en lærebok i henhold til L97 behandler matematikkens historie. Kanskje er noen av målene oppfylt allerede?
Lærerverket Mega
MEGA er et nytt læreverk, det ses på hele utformingen. Boka har gjennomtenkte stimulerende oppgaver, og er i farger. Matematikkens historie kommer inn der det er naturlig; i forbindelse med tallsystemer. «I opplæring skal elevene møte enkelte utvalgte trekk i forbindelse med talltegningens historie, f.eks forskjellige tallsystem,» står det i læreplanen.[8] Av bokas 245 sider blir tre viet dette emnet, og det rent historiske blir avspist med et par tre tekstavsnitt. Teksten inneholder setninger som at «ulike former for telling er brukt hos forskjellige folk opp gjennom tidene,» og at «titallssystemet (…) er et posisjonssystem, og slike titallssystemer har eksistert i alle fall så langt tilbake som hos egypterne for ca. 5 500 år siden.»[9] Hvor mange elever vil fatte interesse for sånt? Vet elevene hva titallssystemet er? Vet elevene noe om egypterne som gjør det interessant å vite hvordan de skrev tallene sine? Har elevene begrep om hva 5500 år innebærer?[10] Med bare en liten utdypning av disse spørsmålene, kan elevenes interesse for ulike tallsystem stimuleres til motivasjon for å arbeide med det tallsystemet MEGA har valgt å gi en viss innføring i; det romerske. Romertallene henger fremdeles igjen i vår kultur, noe som gjør det naturlig å velge det romerske tallsystemet fremfor andre system som rent matematisk har større fordeler. Presentasjonen av romertallene går slik: «Som i mange andre kulturer brukte romerne bokstaver til å betegne tall. (…) Når vi skal løse vanlige regnestykker er et slikt tallsystem ikke alltid like godt egnet.»[11] Deretter blir uten videre de romerske tallsymboler fremlagt sammen med deres representative tallverdi. Et naturlig spørsmål er om ikke elevene kunne fått servert en forklaring på hva bokstavene står for? Jeg tenker særlig på tallene hundre og tusen, symbolisert med henholdsvis C og M. Det ville ikke tatt lang tid å nevne at C står for Centum og M står for Millium.[12] Ved siden av verdien av å vite dette i forhold til romertallene, gir det gratis gevinst i emnet måleenheter. Under en prøve i ungdomsskolens niende klasse, merket jeg meg at elevene kunne blande begrepene, og bruke milli som tusen i millimeter men milli som hundre i milligram. Ved å vite at milli betyr tusen og centi betyr hundre, både i romertall og i måleenheter, har man en huskeregel som kan brukes i to matematiske emner. Viktigere enn huskeregelen, er det at man har et illustrerende eksempel på at matematiske enheter og symboler ikke er laget på måfå, men at de er valgt bevisst for å gjøre systemet enklest mulig å forstå!
Jeg skal vokte meg for å være kritisk. MEGA gjør et forsøk, og de er nødt til å foreta valg av som skal prioriteres. Eleven må ikke få for mye informasjon heller. Det er også mulig, det kan til og med være en fordel, at det er ment slik at læreren skal supplere informasjonen læreverket inneholder. Konklusjonen for læreverket MEGA må likevel bli at læreverket ikke oppfyller de målene jeg har satt for matematikkens historie. Slik presentasjonen av matematikkens historie fremstår i MEGA, kan elevene skjønne, eller bite seg merke i, at det finnes alternative måter å organisere tallene på enn vårt titallssystem etter posisjonsprinsippet. Antageligvis vil de også merke at så fort regneoperasjonene blir noenlunde avanserte, er det enklere å regne med vårt tallsystem enn med romernes. Spørsmålet er om eleven vil skjønne at om ikke europeerne hadde adoptert de arabiske tallene og det indiske tallsystem, så kunne romertallene vært gjeldende den dag i dag? Det er dette jeg mener med at matematikk er kunnskap i utvikling, det er dette jeg mener det er viktig for matematikkens historie å få frem. For å få elevene med på dette må elevene selv føle den magien oppdagerne av nye matematiske uttrykk må ha følt stående med en funklende ny erkjennelse foran seg. Først da blir matematikkens historie inspirerende, først da har undervisningen i matematikkens historie nådd sitt mål.
Undervisning i matematikkens historie
Hoveddelen av mitt forslag om hvordan matematikkens historie kan formidles i undervisning, består av at jeg følger to matematiske emner gjennom ungdomstrinnet, mens jeg forsøker å få frem hvordan det kan undervises på de forskjellige nivå. Etter å ha presentert emnene i ungdomstrinnet, vil jeg skissere noen forslag i hvordan det kan følges opp i gymnaset. Denne undervisningen er ikke utprøvd i praksis og blir derfor ikke annet enn teoretiske skisser for hvordan et undervisningsopplegg kunne sett ut i de utvalgte emner. Etter grundig å ha presentert dette opplegget med siktemål å øke elevenes matematikkforståelse, vil jeg undersøke kortere matematikkhistoirens tverrfaglige muligheter. Først altså vil jeg følge to utvalgte emner gjennom klassetrinnene, og emnene jeg har valgt er tallsystem og det gylne snitt.
Tallsystem og Det Gylne Snitt
Jeg føler det på sin plass med en kort begrunnelse for at jeg valgte nettopp disse emnene. For det første har de relevans for skolematematikken i ungdomsskolen, da de begge er nevnt i læreplanen. De har begge potensiale innen sekundærmålet tverrfaglighet, og skulle også ha mulighet til å virke motiverende da begge emner har mange overraskelser under overflaten, overraskelser som kan gjøre undervisningen og matematikkfaget spennende; og dermed motiverende. Ved siden av dette, er tallsystemer og det gylne snitt typisk matematikkhistoriske temaer. De er begge blitt arbeidet med siden lenge før vår tidsregning, og det arbeides med dem fremdeles. Emnene har også den fine egenskap i undervisningssammenheng at inngangsterskelsen er lav mens utgangsterskelen nærmest er uendelig høy. Det kreves såvidt mer enn ingenting for å forstå grunnprinsippene, det kreves professorat for å forstå emnene til fulle. Dette var noen begrunnelser som gikk på fellestrekk ved emnene, en begrunnelse som unnlot å kommentere mitt hovedmål, nemlig matematikkens historie som middel for å fremme matematisk forståelse. Denne begrunnelsen vil klargjøre målene undervisningen bør ha konkret, og den må gjøres individuell.
Læren om tallsystemer kan oppfattes som svært teoretisk matematikk. Kan det overhodet ha praktisk verdi å kjenne til at grekerne brukte bokstavtegn, mens egypterne brukte symboler? Det er ikke nettopp denne kunnskapen som er den viktigste i tallsystemene heller. Læren om ulike tallsystemer er mest til nytte når det oppnås innsikt i tallenes natur, slik at man bedre blir oppmerksom på spesielle forhold i tallenes verden. Med kjennskap til alternative måter å organisere tallene på, vil det kunne bli enklere å tilegne seg, og enklere å forstå smidige regneregler til å lette regneprosessene. Kanskje kan elevene forstå hvorfor de divisjonsalgoritmen de har brukt siden barneskolen, hvorfor denne delemetoden fører frem? Dette går på ganske dyp matematisk forståelse. I forhold til den matematiske forståelse jeg har skissert i oppgaven som mal for hva matematikkens historie skal oppfylle i undervisningen, altså den matematiske forståelse som går på at matematikken er et system i utvikling til gode for samfunnet, til denne forståelsen vil jeg ha frem at også tallsystemet er en del av dette matematiske univers i utvikling. Det ville ikke være mulig å lage en datamaskin uten så god kjennskap til tallsystemene, at man kunne slutte seg til at det binære posisjonssystem måtte være beste løsning for maskinen.
Det gylne snitt er i sitt vesen teoretisk matematikk, men er også et lysende eksempel på hvordan teoretisk matematikk kan komme i praktisk bruk. Der læren om tallsystem best egner seg til å få frem at matematikken er et fag i utvikling, egner det gylne snitt seg til å vise hvordan dette kommer samfunnet til gode. Måten det gylne snitt griper inn i samfunnet på er spesiell i seg selv, fordi det også griper inn i områder og situasjoner der man ikke skulle vente å finne matematikk. Fyrstikkesker, bøker, bygninger, det gylne snitt er liksom overalt, og ikke bare i menneskebyggverk, i naturen selv også, i sneglehus, i kongler og i solsikker. Det gylne snitt er også skoleeksempelet på hvordan så forskjellige fag som matematikk og kunst henger sammen, sammenhengen her blir poengtert i læreplanen,[13] det gylne snitt opptrer ikke bare i maleri, arkitektur og annen kunst geometri kan tenkes å spille en rolle, det opptrer til og med i musikken.
Oppsummeringen blir at undervisningsopplegget for tallsystem først og fremst skal øke elevenes forståelse for at matematikken er et fag i utvikling, mens undervisningsopplegget for det gylne snitt først og fremst skal illustrere hvordan matematikken kommer samfunnet til gode. Rent praktisk organiserer jeg det slik at jeg først gjennomgår tallsystemer, og deretter tar for meg det gylne snitt.
Tallsystemer
8-Klasse
Dette kommer inn på læreplanen i 8-klasse. Hvor mottagelig er så en 8-klassing i ulike kulturers tallsystemer? En 8-klassing har vel så store forutsetninger til å forstå dette, som de opprinnelige brukerne selv. En 8-klassing er vant med både tall, regning og skrift. Sant å si har en 8-klassing forståelse inntil ekspertise i det mest utviklede tallsystemet som har eksistert nemlig vårt posisjonelle 10-tallsystem inkludert tallet null. 8-klassingen kan både lese og skrive i dette tallsystemet, til og med manipulere med det for å utføre regneoperasjoner. Allerede på barneskoletrinnet lærer norske elever å flytte siffer for å løse oppgaver i de fire regnearter. Når eleven kan det avanserte titallssystemet såpass godt, må det da være mulig å utvikle et enklere tallsystem på egen hånd? Det trengs bare litt hjelpende spørsmål fra læreren. At eleven forsker og finner ut er grunnleggende innen konstruktivismen. Læren om tallsystem er velegnet en konstruktivstisk læringsprosess. Jeg vil i det følgende illustrere hvordan.
Målet er å få eleven til å føle følelsen av å lage i stedet for å regne matematikk. For å få eleven i gang stilles spørsmål som: Hva er den naturligste måten å gjengi et tall på? Hvordan tror dere steinaldermennesket talte? Personer som ikke kan skrive, kan de gjengi tall? Målet med disse spørsmålene er å lede elevene til erkjennelsen av at tallnotasjonens natur er å sette streker ved siden av hverandre. Problemet med denne metoden er åpenbar, og fullt mulig for hvem som helst å slutte seg til på egen hånd. Allerede ved nokså små tall er det vanskelig å kjapt få greie på hvilket tall som er notert, man må til å telle.[14] Løsningen er antageligvis allerede kjent av samtlige elever, nemlig å sette krysstrek for hver femte. Uten å vite det, er elvene nå godt i gang med å utvikle en variant av tallsystemet alle tidlige kulturer benyttet seg av, nemlig et simpelt grupperingssystem. Resonnementet fortsetter med at nye problemer oppstår når tallene vokser opp i noen hundre, eller noen tusen. Gruppene på fem er ikke tilstrekkelige lenger. Man kan gruppere femergruppene i 50 eller 100, men nå oppstår et nytt problem og det er at det er tidkrevende å tegne alle strekene. Siste spørsmål er om det ikke finnes en enklere metode å fremstille grupperingene på? Svaret er nærliggende, simpelthen å erstatte hundrestreksgruppene med egne tegn. Dette er prinsippet i de tallsystemene som kalles gruperingssystem. Både egyptisk, tidlig indisk, hebraisk, gresk og romerske tallsystemer er varianter av slike system, der tallene representeres av et symbol med en klart definert verdi uavhengig av posisjon i notasjonen.[15] Elevene kan få presentert hvilke symboler disse tidlige kulturer valgte, men vel så spennende er det kanskje for dem å lage sine egne symboler. Da vil den enkelte elev få følelsen av å konstruere sitt helt egne tallsystem! Og dette tallsystemet vil neppe står noe tilbake for det høytstående kulturer som den egyptiske, den greske og den romerske benyttet seg av. Elevene har nå fått en fin følelse av overgangen fra ikke-eksistens til eksistens, et tallsystem som aldri ville oppstått om ikke nettopp vedkommende selv hadde funnet det opp. Nå gjelder det å arbeide med det.
Akkurat som MEGA lot elvene regne i det romerske tallsystem, kan læreren nå la dem regne i sitt eget. Gjennom dette får elevene føle hvor enkel simpel addisjon og subtraksjon er å regne når det bare er å telle sammen symboler, men de må også få føle hvor umulig det er med multiplikasjon og divisjon. Det er også en fordel om de forsøker seg på brøker eller desimaltall, det er mulig å konstruere men det krever litt kløkt. Flere av oldtidens kulturer løste problemet ved å la en sammensetning av symboler stå for flere tallverdier, og anta at leseren ut fra sammenhengen ville skjønne hvilken verdi som gjaldt. Kanskje finner elevene en bedre løsning? Elevene bør også tenke gjennom hvordan de skal gjengi store tall i tallsystemet sitt. De har selvsagt lov til å tilføre systemet sitt nye symbol, det stimulerer dem til å tenke gjennom fordelen ved å kunne representere et tall ved hjelp av få tegn versus ulempen det er når det blir så mange symboler i systemet at det blir vanskelig å huske. Hvis elevene bytter tallsystem innbyrdes kommer dette enda klarere frem, et tallsystem skal ikke være for vanskelig å tilegne seg. Det er avgjort en fordel om læreren her har god kjennskap til hvordan tallsystem kan organiseres, slik at elevene kan ledes på ulike, spennende veier. Læreren må også ha nok kunnskap slik at elever som støter på problemer, kan løse disse selv gjennom spørsmål fra læreren. De tallsystem som har eksistert har mange finurlige løsninger som er såpass enkle i prinsippet at de er fullt mulig å forstå, men såpass briljante at de er vanskelige å finne uten noen ledende spørsmål.
Hovedmålet mitt med undervisningsopplegget i tallsystem, skulle være å vise at matematikken er et fag i utvikling. Det kan gjøres ved å gripe fatt i problemene omkring multiplikasjon og divisjon, og dra hjelp av en artig legende. En elev er mest mottagelig for lærdom når vedkommende stanger mot et problem, og har nå sannsynligvis selv erkjent at multiplikasjon av større tall i et grupperingssystem er bortimot umulig. Det var også derfor de spilte fallitt. Brukerne av systemene løste problemet ved å lage tabeller over regnestykker, og ved å bruke kuleramme eller abakus eller et lignende redskap. Disse hjelpemidlene har sine innlysende begrensninger. Tabeller blir uoversiktlige hvis de har for mange opplysninger, ufullstendige hvis de har for få, kulerammen og abakusen skal ikke undervurderes, men redskapenes utilstrekkelighet illustreres av mytisk fortelling fra India. Denne fortellingen har ved siden av sin anekdotiske verdi, verdi i at den illustrerer en kjent tallrekke. Tallrekker og tallmønstre er emner som kommer inn i læreplanen ved høyere klassetrinn, dette er en fin forsmak. Kort fortalt omhandler historien den indisk brahmanen Sessa som skal belønnes av en monark for å ha oppfunnet et slags sjakkspill. Som belønning velger Sessa hvetekorn etter følgende regnestykke: Sjakkbrettet har 8×8 ruter, det legges ett hvetekorn på den første ruten, to på den andre, fire på den neste og så videre fordoblet oppover. Monarken syntes dette var fornærmende lite, og lot forarget sine regnemestre se på saken. Regnemestrene bruker både dag og natt, men blir ikke ferdig, abakusen strekker ikke til. Sessa hadde kjennskap til et annet tallsystem, det tallsystemet vi har i dag, med det var det mulig å se at dette ville bli et meget høyt tall.[16] Dette er legenden om hvordan det indiske tallsystem overtok. Eleven vil nok skjønne problemet til de indiske regnemestrene, hvis ikke kunne de kanskje prøve seg med en abakus selv? Slik kan det være mulig at elevene får inntrykk av matematikken i utvikling, de gamle tellemåter var ikke gode nok, det kom noe nytt, og samfunnet gikk fremover. Et samfunn som dagens uten posisjonelt tallsystem og full bruk av tallet null, det er utenkelig.
9-klasse
Her er det ikke noe direkte på læreplanen som åpner for tallsystemsundervisning, men det kan som jeg senere skal komme inn på, integreres i undervisningen om det gylne snitt.
10 Klasse
Tallsystem er inne med tyngde på 10’de klasse trinnet, der det både står at elevene skal møte tall og tallsystemer i historisk sammenheng, men også at «i opplæring skal elvene arbeide noe med spennende sammenhenger fra tallenes verden, den rolle tallmystikk kan spille i enkelte kulturer, eller den tiltrekning tallgåter kan ha.»[17] Elevene lærte å konstruere enkle tallsystemer i 8 klasse, i 10’de kan lærdommen utvikles til posisjonssystemet. Fortsatt er det eleven selv som skal lede utviklingen.
For å gi elevene en følelse av hva posisjonssystemet innebærer, kan det tas utgangspunkt i forsøket fra 8-klasse trinnet. Ta frem det simple kjøpmannsystemet med overstrekninger i grupper på fem. Spørsmålet er: Kan dette brukes i posisjonssystem? For å hjelpe dem i gang, bes de skrive et spesifikt tall, som ikke inneholder sifferet null. F. eks. 5481. Det burde være mulig for elevene å gjøre noe slikt: IIIII IIII IIIII III I. Denne notasjonen har så mye til felles med den gamle lærde kinesiske notasjonen, at en lærd kineser for flere tusen år siden antageligvis ville kunne tyde tallet! Elevene har rekonstruert grunnprinsippet i de første posisjonssystem. Kanskje de nå kan finne frem til sitt gamle åttendeklassesystem og bruke sine egne symboler som erstatning for de representative siffer? Eller kanskje de kan forsøke å forbedre det romerske ved å innføre et visst posisjonssystem i dette? Det må da være inspirerende, forbedre et tallsystem benyttet i mer enn 1000 år? Etter å ha gitt dem et par oppgaver med dette, får de prøve å gjengi et siffer som inneholder 0. Det er utfordring. Et tall som 3802 klarer de kanskje å løse ved å sette stort mellomrom mellom 8 og 2, men hva med 640? Hvordan er det mulig i et posisjonssystem uten 0? Slike problemer kan lede til en sunn gjennomtenkning over hva null egentlig er. La gjerne elevene forsøke å finne alternative måter å løse problemet på, for å se hva som hender. Likeledes som i åttendeklasse må elevene få lov til å manipulere med sitt tallsystem til de får det best mulig. Med posisjonssystemet har de nye fordeler å tilføre, i forhold til tallet null har de nye problemer.
Undervisningen i posisjonssystem kan også brukes til å trekke inn tverrfaglighet i forbindelse med Babylonernes talltegn. Når man skal gjengi et talltegn, eller konstruere et, vil materialet det gjøres på ha innvirkning på hvordan tegnene blir seende ut. For å skjønne hvordan kan man tenke på de norske runetegnene som ble risset inn i steiner som er et knallhard materiale. Det blir vanskelig å tegne annet enn rette streker. Her ligger grunnen til at de norske runene er så rette i kantene. På samme måte er det med egypterne og kineserne og deres materialer. Egypterne brukte papyrus og Kineserne brukte bark. Begge disse materialene er myke og medgjørlige, noe som gjør at man kan tegne mer forseggjorte figurerer på dem. Babylonerne hadde verken papyrus, bark eller steiner nok til at det gikk an å sløse med det. Materialet det var overskudd av i Mesopotamia var leire, følgelig ble leire brukt til å skrive på. Talltegnene ble satt med en trekantet stav, og man kan da spørre seg hva som er det enkleste tegn å gjengi med et slikt instrument? Det er å trykke staven ned i leiren, og trekke den opp igjen. Trekanten symboliserte tallet 1. Ved å endre vinkelen, ble trekanten seende annerledes ut, og man fikk tallet ti. Kombinert med et posisjonssystem var disse to tegn nok til å gjengi alle tall babylonerne hadde behov for. Siden elevene er gjort så oppmerksom på tallet null sin betydning i et posisjonssystem, må det nevnes at babylonerne etter å ha funnet ut at å representere tallet null med et åpent felt var for upålitelig, representerte tallet null med to trekanter stilt på skrå. I denne sammenheng må det også nevnes at dette ikke var noen ordentlig null, det var bare et slags «fravær av siffer». De første som utnyttet nulltallets muligheter er og blir inderne. Babylonernes tallsystem kan elevene også utmerket prøve seg på selv. Gi dem leire og en stav, og de forvandles til oldtidens vismenn. Det kan også sløyfes inn at brent leire holder seg godt, og dette er grunnen til at vi har så rike etterlevninger etter de Mesopotamisk sivilisasjoner, mens fra kineserne som skrev på lett oppløselig bark har vi knapt noe. Det tverrfaglige ligger i at eleven får innblikk i hvordan historien rekonstrueres. Fra de eldste tider finnes ikke så mange kilder, derfor må de som finnes brukes til fulle. I her ligger dyp historisk, arkeologisk og sosialantropologisk innsikt elevene kan få et glimt av gjennom matematikkundervisning.
Videre til gymnaset
På gymnastrinnet står det ingenting direkte i læreplanen om at elevene skal ha kjennskap til tallsystemer, men det henger en del løse tråder igjen fra ungdomsskolen man kan nøste opp i gymnaset. Gymnaset har både problemløsning og matematisk historie på læreplanen, så det skulle være dekning for å presentere hvordan man kan gjengi våre tall i det babylonske tallsystem, og hvordan egypterne løste multiplikasjonsregning i sitt grupperingssystem. Som vi skal se leder begge disse løsningene til fin matematisk innsikt, både som et fag i utvikling og som del av samfunnet.
Babylonernes hadde et posisjonssystem med grunntall 60. Det er meget enkelt å regne babylonske tall om til våre, det er bare å multiplisere i potenser på 60. [37,59,1,13] blir følgelig lik (37)*603+(59)*602+(1)*60+13. Med kalkulator er slike stykker enkle å regne ut. Verre blir det å regne andre veien. Så lenge tallet er lavt går det greit, men hvordan gjengi et tall som 9165?
Det finnes en algoritme:
9165:60=152 152:60=2 2:60=0
60 120 2
316 32
300
165
120
45
Svaret blir [2,32,45] eller (2)*602+32*60+45. Her kommer altså det gamle divisjonsprinsippet fra barneskolen, og gjør nytte for seg ved omregning til det babylonske tallsystem. Metoden er den samme som man bruker for å transformere tall til en hvilken som helst base. Det gir retning mot fremtidig modularegning, og for de virkelig avanserte matematikerspirer til gruppeteori.
Så til egyptisk multiplikasjon, inspirerte elever husker kanskje problemene med å multiplisere tall i et grupperingssystem fra ungdomsskolen. Egypterne har en interessant løsning.
26*33 26 33
13 66
6 132
3 264
1 528
Svaret er 528, gitt ved fordobling og halvering. Divisjoner følger samme prinsippet, men i motsatt retning. Dette er metoden datamaskiner bruker å regne med. Elevene kan jo selv forsøke seg å multiplisere tall på denne måten med et binært tallsystem. Det er så enkelt at selv en maskin kan greie det. Her blir altså en matematisk algoritme fra oldtiden sammen med et posisjonssystem fra middelalderen og moderne teknologi kombinert for å lage en maskin som kan hjelpe mennesket i 1998. Det er matematikk.
Til begge disse algoritmene kan det være en stimulerende oppgave for elevene å forsøke å finne ut hvorfor de fører frem.
Det gylne snitt
8-Klasse
Det gylne snitt finnes ikke på læreplanen for åttende klasse.
9-Klasse
På læreplanen for 9. klasse kommer det gylne snitt inn. For å favne interessen fra begynnelsen av, kan undervisningen starte med en liten kåring. Elevene får lagt for seg ulike nummererte firkanter, deriblant en der høyden og lengden oppfyller forholdene i det gylne snitt. Elevene blir så bedt om å plukke ut den de liker best, og skrive firkantens nummer på en lapp. Så blir det høytidelig opptelling, og kåring av den vakreste. Antageligvis vil dette være firkanten inneholdende det gyldne snitt. Dermed har man et godt utgangspunkt for å skape interesse om emnet. For å gjøre det ekstra spennende, kan kanskje læreren på forhånd legge denne nummererte firkanten i en konvolutt og legge denne ved tavlen så alle kan se den. Når kåringen er ferdig, bes en elev åpne konvolutten. «Jeg visste den ville vinne, hvordan kunne jeg vite det? Jo, fordi denne firkanten inneholder noe vi skal lære om nå, og det er det gylne snitt.»[18] Dette var bare et forslag for hvordan vekke interessen. Poenget med undervisning om det gylne snitt, er å få frem hvor dyptgripende dette forholdet er i samfunnet. Den beste måten elevene kan finne det ut på, er å måle selv. De trenger å vite at forholdet er høyde:bredde=1/2(SQR(5)-1), eller omlag 0.618, så er det bare å komme i gang. Fortell dem at de gjerne må låne målbåndet til mor, slik at de kan måle større ting. Kanskje den som finner flest eksempler kan få en premie? Kanskje det kan være konkurranser mellom klasser? Slike konkurranser skaper bare vinnere, da hovedpoenget med konkurransen er å få elevene til å skjønne at det finnes mange firkanter med det gylne snitt. Det gjelder om å finne flest mulig.
Jeg nevnte i sekvensen om tallsystem for niende klasse at jeg ville komme tilbake til hvordan tallsystemkunnskap kan integreres i undervisningen om det gylne snitt. Det kan gjøres gjennom følgende illustrasjon på hvorfor grekerne var så fascinert av dette snittet. Historien har i likhet med den indiske brahman historien også verdi som anekdote. At det i læreplanen står at elevene skal arbeide med størrelser og enheter passer fint inn i forklaringen. Grekerne hadde et simpelt grupperingssystem som tallsystem. Elevene kjenner slike system godt, de har laget et selv, og vet hvilke problemer det innebærer. Slike tallsystem er lite egnet til fremskritt innen algebra, så var det også geometrien som opptok grekerne mest. Når grekerne siden er blitt kjent som opphavsmenn også til erkjennelser i tallenes verden, er dette bare geometriske prinsipper gyldige for tall. Dette er tilfellet med problemet grekerne kalte minste felles mål. Jeg tar den geometriske forklaringen først. Minste felles mål ut går på følgende, man har to linjestykker A og B med en gitt lengde. Minste felles mål er den lengde som er felles for begge, eller det minste mål man for begge linjestykker kan gjenta til det fyller linjestykket nøyaktig. Eks. A=3x, B=2x, minste felles mål blir da avstanden x. Minste Felles mål kommer i tallenes verden inn som et slags minste felles multiplum, der også brøker er tillatt som multiplum. Grekerne var overbevist om at bare målet var lite nok, var det alltid mulig å finne et slikt minste felles mål. Elevene vil nok være enige med grekerne i dette, og de vil skjønne noe av forskrekkelsen da grekerne fant ut at for linjer kuttet i det gylne snitt fantes ingen felles mål! Det var plent umulig å finne en lengde som gikk opp i begge linjestykker, uansett hvor liten man gjorde den.[19] Om man som lærer går gjennom dette må man være forberedt på protester, det er virkelig vanskelig å godta inkommensurable forhold som slike forhold heter. Bevisene passer bedre for høyere klassetrinn, jeg vil skissere dem nøyere der.
10-klasse
I 10’de klasse er det to emner som berøres av det gylne snitt i følge læreplanen. Det står at elevene skal arbeide med estetikk i kunst, håndverk og arkitektur i et historisk perspektiv, og det står at de skal arbeide med figurer, former og mønstre [20] Dette gir to muligheter for arbeid med det gylne snitt.
I åttende klasse målte elevene småting med målbånd, i tiende kan arbeidet med å finne gylne snitt kombineres med annen matematisk lærdom. De skal også arbeide med arkitektur. Hvordan så måle høyden til høye bygninger? Har elevene selv noen ideer? Hvis ikke kan de hjelpes på vei. Spør om de husker målestokk. Kan de noe om forholdstall? Er det noen forholdstall i naturen som kan hjelpe oss? Sol, skygge kanskje? Astrolabium? Kanskje endog trigonometri og tangens? Pythagoras? Så vil man oppdage at det gylne snitt ikke bare finnes i smørbokser og fyrstikkesker, men også i de merkeligste bygninger. Ved siden av dette vil man gjennom utregningsmetodene lære seg hvordan matematisk kunnskap kan brukes i til å finne opplysningen man virkelig ønsker.
Når det gjelder former og figurer er Pythagoreernes femkantsstjerne velkjent. Den inneholder det gylne snitt. Nå kan de få en følelse av hva inkommensurable størrelser betyr i praksis. Metoden kan også brukes til forsvar mot elever i niende klasse som protesterer mot inkommensurabelitet. La dem tegne en regulær femkant, og forstørre med trekant i langs hver kant slik at det blir en Pythagorasstjerne. I Pentagrammet i midten trekker de linjer mellom hjørnene, slik at det dannes ei ny stjerne med et nytt pentagram inne i pentagrammet. Dette gjentas. Spørsmålet er hvor mange ganger dette er mulig å gjenta? Svaret er uendelig, fordi forholdet er inkommensurabelt, og det har med det gylne snitt å gjøre. Beviset tar jeg i gymnaset.
Videre til gymnaset
I gymnaset står ikke det gylne snitt på læreplanen, men som for tallsystemer blir ikke alle tråder nøstet opp i ungdomsskolen. Her vil jeg kort ta for meg hvordan utledningen av forholdet i det gylne snitt gir meningsfull øvelse i regning med annengradsregligninger. Jeg vil skissere hvordan det kan brukes i regning med rekker, og jeg vil runde av diskusjonen om det gylne snitt som inkommensurabel størrelse ved å presentere Euklids algoritme for å finne minste felles mål, og forsøke den på det gylne snitt i en femkant.
Som en kuriositet kan man i en time om andregradsligningen begynne med å nevne at metoden først ble beskrevet av araberen Al-Kwarismi som virket i Bagdad under det sjuende abassid, og det er også denne personen som er opphavet til ordet algoritme,[21] så har den timen fått en interessant start. Når det kommer til annengradsligningen i det gylne snitt, kommer den frem etter få enkle regneoperasjoner. Det gylne snitt skjærer en linje slik at forholdet mellom den korte linjen og den lange linjen er lik forholdet mellom den lange linjen og hele linjen. Sett så hele linjen til 1, og skjæringspunktet til x. Ligningen er 1/x=1/x-1. Her må elevene bruke både brøkregning og kvadratsetning for å regne ut det gylne snitt, og det er meningsfull regning.
Rekker kommer inn i pensum på tredjeklassetrinnet.[22] En av de mest kjente rekker er tallrekken til Leonardo Fibonaccio fra Pisa, en rekke han innførte i sitt verk Liber Abacci fra 1202. Forøvrig var dette det første originale europeiske verket der de indiske talltegn ble brukt. Sammenhengen mellom Fibonaccis rekke og det gylne snitt kan godt illustreres på følgende måte. Gi elevene et rutepapir. Her kan de til og med sneise innom topologispørsmålet, hvor mange farver for å farve et kart? Nåvel, be dem tegne inn og farve kvadrater etter forholdet at et kvadrat skal være like stort som to kvadrater det tegnes ved siden av. Eller for å beskrive, begynn med et kvadrat i ei rute, tegn et kvadrat i ruta ved siden av, det neste kvadratet skal ha sider like langt som de to førstes sider til sammen, altså to ruter. Derfor tegnes kvadratet over 2×2=4 ruter. Det neste blir på 3×3=9 ruter. Når dette er gjort tilstrekkelig med ganger, kan elevene tegne halvsirkler med passer fra hjørne til hjørne. Spiralen som oppstår inneholder proporsjonene i det gylne snitt, og hvis elevene teller rutene spiralen passerer i hver firkant, vil de se at antall ruter vokser etter Fibonaccis tallrekke. Hvilket utrolig sammentreff! Den forutseende lærer har med seg ei solsikke og ei kongle, slik at elevene får se at denne spiralen forekommer i naturen også. Det gylne snitt er overalt.[23]
Til slutt ganske kort Euklids algoritme. Prinsippet gjelder for både tall og linjestykker. Skal finne minste felles mål av <a,b>.
A=bq+r1 b multiplisert med q gir rest r. Problemet redusert til minste felles mål <q,r1>
b=r1q2+r2 r1 multiplisert med q2 gir rest r2, problemet redusert til <r1,r2>
r1=r2q3+r3 r2 osv…
Videre til:
rn-2=rn-1qn+rn
rn-1=rnqn+1+0 rn multiplisert med qn+1 gir rest null. rn blir da minste felles mål
Det skulle ikke være vanskelig å forstå hvorfor denne metoden fører frem. Brukt i en regulær femkant med innskrevet stjernefemkant, vil metoden avsløre at forholdet mellom diagonal og side i femkanten er nøyaktig lik forholdet mellom diagonal og side i stjernens indre femkant.[24] Fortsetter man, ser man at dette forholdet alltid er likt. Det gylne snitt i dette ligger i at forholdet mellom diagonal og side, er nettopp det gylne snitt. Dette kan eleven få lov til å utlede, det er ikke stort verre enn utledningen ovenfor.
Konklusjoner tallsystem og gylne snitt
Jeg håper med dette å ha vist at disse to emnene egner seg å frem de mål jeg har satt for matematikkfaget. Gjennom eget arbeid med tallsystem får man kjennskap til tallene, man forstår at tallene ikke bare er levert oss, men at det var et slit og et strev å finne frem til dem. Gjennom eget arbeid med det gylne snitt, får man kjennskap til hvordan matematikken finnes og virker i samfunnet, også på steder man ikke venter å finne matematikk. Denne kunnskapen har elevene fått kun ut fra undervisning i to matematikkhistoriske emner. Tenk hvilke muligheter som finnes når hele matematikkens historie kommer med i undervisningen.
Det er et felt av matematikkens historie jeg ikke har fått utnyttet fullt ut i dette undervisningsopplegget, noe som skyldes at jeg kun har hatt matematikktimene som utgangspunkt. Skal matematikkens historie komme til sin fulle rett som tverrfaglig mulighet, kan kanskje også andre fag brukes som plattform?
Tverrfaglig
Hovedfagsstudent Sigrid Sagevik hadde en kronikk i realistavisa QED der hun ytrer ønske om at realfagsstudenter skal beskjeftige seg mer innen andre fagkretser, for å få frem nye syn på samfunnet og dets utvikling.[25] Matematikkens historie er egnet til dette også, naturlig i historiefaget men spenstig også i andre fag. Jeg vil gjennom tre eksempler sende ut noen ideer om hvordan matematikkens historie kan brukes til hjelp i fag som i utgangspunktet ikke har så mye med matematikk å gjøre.
Matematikkens historie gir spennende bakgrunn i historiefaget i det at matematikken i ulike samfunn treffende gjenspeiler den ulike kulturen disse samfunnene har. Jeg vil bare skissere kort noen oldtids kulturer, og hvordan vi med matematikken som inngangsport kan forstå dem. Den første matematikk var å risse inn streker, antageligvis for å holde tellingen på hvor mange dyr man hadde fanget. Slik fungerte steinaldermennesket. Etterhvert oppstod sivilisasjoner, og det krevdes mer avansert matematikk. Man skulle høste korn og oppbevare det. Da var det en fordel å vite hvor stor lagerplass man trengte å bygge, slik at man ikke sløste med tid og materiale. Når utregningene ble mer presise, kunne man bygge større. Illustrerende hadde både egypterne og babylonerne formelen for volumet av en pyramide, men Babylonernes formel var ikke helt riktig. Kan det være derfor det ble egypterne som bygde den? Verken egypterne eller babylonerne var opptatt av beviser, det viktige for dem var at deres formler stemte. Dette gir fin inngang i forståelsen av en annen kultur, nemlig grekernes. Grekerne hadde et jordbruk som var enkelt å dyrke og de hadde slaver til å jobbe for seg. Antikkens grekere er vel kanskje det folkeslag som har hatt mest fritid. Fritiden ble brukt til å møtes på markedsplassen og der kom man i snakk med likesinnede. Det ble snakk om matematikk, og diskutert. Dette var årsaken til at grekerne var de første som i det hele tatt brydde seg i å forsøke å bevis sine resultater. Kineserne og inderne på sin side var opptatt av kunst, de ville at matematikken skulle være elegant. En sammenligning av et gresk og et kinesisk Pythagoras bevis illustrerer forskjellene.[26] Mayafolket var ekstremt opptatt av astronomi, derfor er det kanskje tallsystemet deres er så velegnet astronomiske forhold. Derfor valgte de å la posisjonssystemet sitt bestå av to grunntall både 20 og 18. Multiplikasjonen av dette gir 360. Slik kan man fortsette gjennom den mørke middelalder der matematikken stod stille, som samfunnet ellers, og der Araberne ledet an sammen med kineserne, og siden Araberne var dyktige astronomer og astrologer er det innen trigonometrien araberne har gitt sitt viktigste bidrag. Dette er bare riss, hele kulturer er avspist med en setning, og kun gamle kulturer er pekt på. Ved full bruk av matematikkens historie, kombinert med solid historisk bakgrunnstoff vil man oppleve en helt annen forståelse for både historien og matematikken, enn hvis fagene som nå fortsetter å være adskilt.
Til tverrfaglig samfunnsfag kan det startes med en anekdote igjen, historien kan forøvrig utmerket stå på egne ben, og fortelles som krydder i tiendeklasse mens elevene arbeider med de regulære mangekanter. Det var en Pythagoreer som ble syk langt hjemmefra og forpleiet av en vennligsinnet, han ikke kunne belønne. Han bad derfor pleieren tegne en stjernefemkant på huset sitt. Såfort en annen pythagoreer passerte huset, ville den vennligsinnede få sin belønning. Det skjedde etter flere år.[27] Historien om den syke Pythagoreer illustrerer hvilken magi man kunne legge i et enkelt symbol. Tverrfaglig kan dette brukes til en diskusjon om hvilken posisjon slike kjennemerker har i dag. En slik diskusjon vil kunne berøre både samfunnsfag og psykologi, i tillegg til å være relevant til ungdommens egen hverdag. For har ikke elevene også slike symboler? Pythagoreerne virket 400 år før Kristus.
Den siste tverrfaglige muligheten jeg vil ta opp her angår matematikk og kunst. Undervisningen kan selvsagt ta utgangspunkt i både mattetimer, eller i kunstfaget selv. Det er mange måter å organisere det på. Elevene kan få for seg maleri, og forsøke å finne komposisjoner i det gylne snitt, eller de kan lage maleri eller tegninger selv der de forsøker å flette inn det gylne snitt på ulike måter. En stor overraskelse venter dem, hvis de tar tiden på forholdet mellom ulike sekvenser i klassiske musikkverk. Det gylne snitt finnes også der. Subsidiært kan de forsøke å finne det i musikk de selv hører på, der finner de det neppe, men hvem vet? Det gylne snitt har overrasket før.
Konklusjon
Ut fra det jeg har vist fremmer matematikkens historie matematisk forståelse, og fortjener med det plass i skolematematikken, fordi både læreplan og fornuftig argumentasjon taler for at forståelse er viktigere enn fasit. Gjennom den økte forståelsen vil kanskje matematikkfaget føles kjekkere, noe som igjen vil motivere eleven til videre arbeid; man er inne i en god sirkel. Ved siden av disse fordelene, er matematikkens historie velegnet til bruk i tverrfaglig arbeid, ikke bare i matematikktimene, men også ved at matematikk trekkes inn i annen undervisning. Matematikkens historie er et gode som ikke bare fortjener plass i læreplan, men også i lærebok og undervisning.
Litteraturliste
Breiteig, T. : Matematikk for lærerere, Bind I, TANO 1993,
& Venheim, R.
Brun, V. : Alt er tall, Universitetsforlaget 1964.
Eves, H. : An introduction to the history of mathematics, CBS
College Publishing, 1983
Gunnesdal, W. (Kons): Damms store bok om matematikk, Damms forlag 1997
Guldbrandsen, J. E : MEGA 8A, Matematikk for ungdomstrinnet. NKS Forlaget 1997
& Melhus, A.
Hogben, L : Mennesket og Matematikken, Tiden Norsk forlag,
Norsk Utgave 1962 ved lektor O. Olaussen
Ifrah, G. : All verdens tall, Oversatt av A. Falken & G. Harr,
Pax Forlag 1997
Nilssen, T. I. : Konstruktivisme i klasserommet, Hovedoppgave ved
det matematisk naturvitenskapelige fakultet ved Universitet
i Oslo, 1993
Nissen, G : Hul i kulturen, Spektrum 1994
& Blomhøy, M. (Red.)
Sagevik, S. : Allsidig og fleksibel, Artikkel i realfagsavisa QED nr. 2, 1998
I tillegg kommer Læreplaner for matematikkfaget i grunnskolen og gymnaset.
[1] Læreplan’97 under Felles mål for faget. Punkt 6.
[2] Læreplan’97 s.12, under egenarter for ungdomssteget står dette helt klart: «(…) legge vekt på arbeid på ters av fag.» Det tverrfaglige kommer også frem andre steder i læreplanen.
[3] Nissen/Blomhøy, s. 26
[4] Nissen/Blomøy s. 37
[5] Breiteig s. 65
[6] Ifrah s.28. I praksis rekker ikke tallsystemet lenger enn tallet 2. De teller etter prinsippet [En, To, To og En til, To og To til, Mange].
[7] Nå tenker jeg ikke samfunnsnytte helt direkte, gjorde jeg det ville jeg avskåret historiens kanskje mest kjente matematiske, grekerne. Grekerne var motivert av kunnskapen i seg selv, snarere enn dens praktiske verdi. Likevel kan det argumenteres for at grekerne motivertes av samfunnsnytte, grekerne anså det nemlig gavnelig å hengi seg til tankevirksomhet. Se bare på Platons verk Staten, der Platon vil la tenkerne, filosofene og matematikerne styre. Det vitner om et samfunnssyn der tanken er mer nyttig enn arbeid, noe Platon ikke var alene om å mene. På sikt viste det seg også at grekernes matematiske fremganger også kom til reell samfunnsnytte.
[8] Læreplan’97. Matematikk 8. klasse, Tall og Algebra
[9] Gullbrandsen/Melhus s. 29
[10] Nå må det også sies at å organisere telling i titallssystem, altså å la tallene [8,9,10,11,12] betegnes av [8],[9],[10],[10+1],[10+2] osv, denne organiseringen er langt eldre enn egypternes 5500 år. Menneskets ti fingre har antageligvis gjort at denne måten å organisere tallene på har forekommet siden mennesket begynte å telle lenger enn til 10. Antagelsen er underbygget av steinalderfunn, der tallstreker er risset inn i dyreknokler og bein. Allerede der ser man grupperinger i 10. Egypterne brukte titallssystem i en helhetlig gjennomtenkt notasjon, det var de kanskje først til. Men her skal man ikke være sikker.
[11] Gullbrandsen/Melhus s.30
[12] Nå er det antageligvis ikke helt sant at de romerske talltegnene er valgt fordi de betegner tallverdien. Ifrah argumenterer for at de opprinnelig var rester fra Eutrekernes og deres forfedres sitt tallsystem. Selv om dette er tilfelle, kan man anta at de endelige formene er valgt hvertfall med den tilleggsfordel at de representerte bokstaver i det representative tallord.
[13] Læreplan’97, under innledningen
[14] Menneskets evne til umiddelbar talloppfattelse overskrider aldri tallet fire.(Ifrah s.319)
[15] Helt uavhengig av posisjon er symbolene ikke alltid, som i romersk der IV=4 mens VI=6
[16] Historien står i sin helhet hos Ifrah s. 527-529
[17] Læreplan’97. 10’de klasse- Tall og Algebra
[18] Slike forsøk er foretatt mange ganger. Det gylne snitt pleier å vinne.
[19] Denne erkjennelsen var med på å forårsake at grekerne anså geometri overlegen algebra. For grekerne, og deres tallsystem uten mulighet for å gjengi irrasjonelle tall var det umulig å finne inkommensurable størrelser i tallenes verden.
[20] Læreplan’97, under avsnittet om geometri for tiende klasse.
[21] Hogben s. 168. Ordet algoritme oppstod forøvrig da en europeisk oversetter forvekslet navnet Al-Kwarisimi med et ord han ikke forstod, og rett og slett skrev feil.
[22] Læreplan gymnas’94. Y-linjen. Mål 4
[23] Metoden er hentet fra Damms matematikkbok s.59
[24] Se Brun s. 106-107 for detaljer.
[25] Kronikken står i Q.E.D nr. 2 1998, s. 2
[26] Kinesernes bevis står i Brun. S. 74, Grekernes bevis i Euclids versjon står som en oppgave i Eves s. 114. Det vil slå den som blar opp disse bevisene at grekernes bevis er konsist og formelt, mens det kinesiske er vagt formulert men mer elegant.
[27] Brun, s.104
